# 특징 유사도 구하기

단어들은 겉의 불연속적인 형태와 달리 내부적으로 의미를 지닌다는 것을 배웠습니다. 이에 따라 단어들은 서로 유사성을 지닙니다. 데이터를 기반으로 모델의 정확도를 높여나가는 머신러닝을 자연어 처리 분야에 적용하려면, 데이터를 최대한 효율적으로 활용하여 모델을 학습시키는 것이 중요합니다. 따라서 지난 수십 년 동안 자연어 처리 연구자들은 단어들로부터 정확한 특징 벡터를 추출하여 유사한 단어(또는 단어들의 집합)에서 더 많은 정보를 추출하여 학습에 활용하고자 했습니다.

이를 위해 앞서 구한 특징 벡터를 어떻게 사용할 수 있을까요? 특징 벡터는 단어 사이의 유사도를 구할 때 아주 유용합니다. 앞서 우리는 워드넷의 그래프 구조에서 단어 사이의 거리를 측정하고, 이를 바탕으로 단어 사이의 유사도를 구하는 방법을 이야기했습니다. 그럼 벡터 사이의 유사도 또는 거리는 어떻게 구할 수 있을까요? 이번 절에서는 두 벡터가 주어졌을 때 벡터간의 유사도 또는 거리를 구하는 방법들을 다루어보겠습니다. 그리고 파이토치를 사용하여 해당 수식들을 직접 구현해보겠습니다.

지금부터 설명할 코드들은 다음과 같이 모두 torch를 임포트하여 사용합니다.

```python
import torch
```

## L1 거리

L1 거리L1 distnace란 L1 norm을 사용한 것으로 맨해튼 거리Manhattan distance라고도 합니다. 이 방법은 두 벡터의 각 차원별 값의 차이의 절대값을 모두 합한 값입니다.

$$\text{d}_{\text{L1}}(w,v)=\sum_{i=1}^d{|w_i-v_i|},\text{ where }w,v\in\mathbb{R}^d.$$

다음은 파이토치 텐서 $x\_1$ , $x\_2$ 를 입력으로 받아 L1 거리를 반환해주는 코드입니다.

```python
def get_l1_distance(x1, x2):
    return ((x1 - x2).abs()).sum()
```

## L2 거리

$$\text{d}_{\text{L2}}(w,v)=\sqrt{\sum_{i=1}^d{(w_i-v_i)^2}},\text{ where }w,v\in\mathbb{R}^d.$$

L2 거리L2 distnace란 우리가 가장 친숙한 거리 방법 중의 하나인 유클리디안 거리Euclidean distance입니다. 차원별 값 차이의 제곱의 합에 루트를 취한 형태입니다. L2 거리를 구하기 위해 파이토치 텐서들을 입력으로 받아 계산하는 함수의 코드는 다음과 같습니다.

```python
def get_l2_distance(x1, x2):
    return ((x1 - x2)**2).sum()**.5
```

다음 그림은 L1 거리와 L2 거리의 차이를 쉽게 나타낸 것입니다. L2 거리를 의미하는 초록색 선을 제외하고, 나머지 L1 거리를 나타내는 세가지 선의 길이는 모두 같습니다. L1 거리의 또다른 이름인 맨해튼 거리라는 이름답게 마치 잘 계획된 도시의 길을 지나가는 듯한 선의 형태 를 나타냅니다.

![L1 vs L2(초록색) from wikipedia](https://2195376183-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LFzjkZt6ljMBd4YGVCn%2F-LX4NCwvtTXyg_vzXhF0%2F-LX4NIkZXgQg4-DQV7_T%2F05-07-01.png?generation=1548425979490747\&alt=media)

## infinity Norm

$$d_{\infty}(w,v)=\max(|w_1-v_1|,|w_2-v_2|,\cdots,|w_d-v_d|),\text{ where }w,v\in\mathbb{R}^d$$

L1, L2 거리가 있다면 $L\_\infty$ 거리도 있습니다. 재미있게도 infinity norm을 이용한 거리는 차원별 값의 차이 중 가장 큰 값을 나타냅니다. 앞의 수식을 파이토치 텐서에 대해 계산하는 코드는 다음과 같습니다.

```python
def get_infinity_distance(x1, x2):
    return ((x1 - x2).abs()).max()
```

다음 그림은 각 L1, L2, $&#x4C;_\infty$ 별로 거리의 크기가 r일 때 모습입니다. 색상별 선 위의 위치들은 모두 해당 거리 측정 방법에서 같은 거리를 나타냅니다. 보이는 바와 같이 L1 거리는 각 값들을 동시에 나타냅니다. 하지만 L2, $L_\infty$ 로 갈수록 벡터 내의 큰 값에 대해 더욱 집중해서 거리를 나타냅니다. 즉, 각 거리를 최소화하도록 최적화를 수행한다면 L2, $L\_\infty$ 로 갈수록 전체 벡터 중에서 큰 값이 작아지도록 최적화를 수행합니다.

![같은 값 $r$ 크기를 갖는 $L\_1$ , $L\_2$ , $L\_\infty$ 거리를 그림으로 나타낸 모습](https://2195376183-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LFzjkZt6ljMBd4YGVCn%2F-LdY8XsBp4gIIdLwPu0H%2F-LX4NIkaSDwPuRL61mMy%2F05-07-02.png?generation=1556441615741439\&alt=media)

## 코사인 유사도

다음과 같은 수식을 갖는 코사인 유사도cosine similarity 함수는 두 벡터 사이의 방향과 크기를 모두 고려하는 방법입니다.

$$\begin{aligned} \text{sim}_{\text{cos}}(w,v)&=\overbrace{\frac{w\cdot v}{|w||v|}}^{\text{dot product}} =\overbrace{\frac{w}{|w|}}^{\text{unit vector}}\cdot\frac{v}{|v|} \\ &=\frac{\sum_{i=1}^{d}{w_iv_i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^d{w_i^2}}\sqrt{\sum_{i=1}^d{v_i^2}}} \\ \text{where }&w,v\in\mathbb{R}^d \end{aligned}$$

수식에서 분수의 윗변은 두 벡터 사이의 요소별element-wise 곱을 사용하므로 벡터의 내적과 같습니다. 따라서 코사인 유사도의 결과가 1에 가까울수록 방향은 일치하고, 0에 가까울수록 직교이며, -1에 가까울수록 반대 방향임을 의미합니다. 이와 같이 코사인 유사도는 크기와 방향 모두를 고려하는 만큼 자연어 처리에서 가장 널리 쓰이는 유사도 측정 방법입니다. 하지만 수식 내 윗변의 벡터 내적 연산이나 밑변각 벡터의 크기(L2 norm)를 구하는 연산이 비싼 편에 속합니다. 따라서 벡터 차원의 크기가 클수록 연산량이 부담됩니다.

희소 벡터일 경우 여기서 가장 큰 문제가 나타납니다. 윗변이 벡터 곱으로 표현되므로, 0이 들어간 차원이 많으면 해당 차원이 직교하면서 곱의 값이 0이 되므로, 정확한 유사도 또는 거리를 반영하지 못합니다.

코사인 유사도는 다음과 같이 파이토치 코드로 나타낼 수 있습니다.

```python
def get_cosine_similarity(x1, x2):
    return (x1 * x2).sum() / ((x1**2).sum()**.5 * (x2**2).sum()**.5)
```

## 자카드 유사도

$$\begin{aligned} \text{sim}_{\text{jaccard}}(w,v)&=\frac{|w \cap v|}{|w \cup v|} \\ &=\frac{|w \cap v|}{|w|+|v|-|w \cap v|} \\ &\approx\frac{\sum_{i=1}^d{\min(w_i,v_i)}}{\sum_{i=1}^d{\max(w_i,v_i)}} \\ \text{where }&w,v\in\mathbb{R}^d. \end{aligned}$$

자카드 유사도jaccard similarity는 두 집합 간의 유사도를 구하는 방법입니다. 수식의 윗변에는 두 집합의 교집합 크기가 있고, 이를 밑변에서 두 집합의 합집합 크기로 나눕니다. 이때 특징 벡터의 각 차원이 집합의 요소element가 될 것입니다. 다만, 각 차원에서의 값이 0 또는 0이 아닌 값이 아니라 수치 자체에 대해 자카드 유사도를 구하고자 할 때는, 두 번째 줄의 수식과 같이 두 벡터의 각 차원의 숫자에 대해 min, max 연산을 통해서 계산할 수 있습니다. 이를 파이토치 코드로 나타내면 다음과 같습니다.

```python
def get_jaccard_similarity(x1, x2):
    return torch.stack([x1, x2]).min(dim=0)[0].sum() / torch.stack([x1, x2]).max(dim=0)[0].sum()
```

## 문서 간 유사도 구하기

단어들이 모여 하나의 문장을 이루고, 문장들이 모여 하나의 문서를 이룹니다. 따라서 문서는 더 많은 단어의 집합이라고 할 수 있습니다. 지금까지 단어에 대한 특징을 수집하고 유사도를 구했다면, 마찬가지로 문서에 대해 특징을 추출하여 문서간의 유사도를 구할 수 있습니다. 예를 들어 문서 내의 단어들에 대한 TF나 TF-IDF를 구하여 벡터를 구성하고, 이를 활용하여 벡터 사이의 유사도를 구할 수도 있을 것입니다. 물론 현재 딥러닝의 시대에서는 훨씬 더 정확한 방법을 통해 문서간 또는 문장간 유사도를 구할 수 있습니다.
