쉬어가기: 몬티 홀 문제

그럼 이제까지 이야기한 내용을 바탕으로 ‘몬티 홀 문제Monty Hall Problem’로도 유명한 재미있는 퍼즐 문제를 풀어보겠습니다. 몬티 홀이라는 명칭은 미국의 유명한 TV 게임 쇼 진행자인 몬티 홀의 이름에서 따왔습니다.

몬티홀 문제

앞의 그림에서처럼 3개의 문이 있을 때, 시청자는 상품이 뒤에 숨겨져 있는 하나의 문을 선택해야 합니다. 쇼 진행자는 상품이 숨겨진 문이 무엇인지 알고 있으며, 시청자가 처음에 1개의 문을 고르면 시청자가 고르지 않은 문을 하나 열어주고 그 뒤에는 정답이 없음을 보여줍니다. 즉, 꽝인 문을 열어 보여줍니다. 이때 진행자가 시청자에게 기존의 선택을 바꿀 기회를 준다면 시청자는 어떻게 해야 할까요?

이 문제는 3개의 사건(확률 변수)를 갖는 확률 문제로 생각할 수 있습니다. 3개의 문(인덱스: 0, 1, 2)이 주어졌을 때, 시청자가 처음에 고른 문에 대한 사건을 A, 진행자가 시청자에게 열어주는 문에 대한 사건을 B, 그리고 상품이 숨겨진 문에 대한 사건을 C라고 하겠습니다. 즉, 궁금한 내용은 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

$P(C=2|A=0,B=1)>P(C=0|A=0,B=1)$

만약 이 수식이 참이라면 시청자는 정답을 바꿔야 할 것이며, 참이 아니라면 시청자는 진행자의 권유에도 아랑곳하지 않고 원래의 선택을 고수해야 할 것입니다. 그럼 이 식의 좌변과 우변에 대해서 앞서 배운 내용(조건부 확률과 독립 시행)을 바탕으로 문제를 풀어보겠습니다.

$\begin{aligned} P(C=2|A=0,B=1)&=\frac{P(A=0,B=1,C=2)}{P(A=0,B=1)} \\ &=\frac{P(B=1|A=0,C=2)P(A=0,C=2)}{P(A=0,B=1)} \\ &=\frac{P(B=1|A=0,C=2)P(A=0)P(C=2)}{P(B=1|A=0)P(A=0)} \\ &=\frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3},\\ \text{where }P(B=1|A=0)=&\frac{1}{2},~P(C=2)=\frac{1}{3},\text{ and }P(B=1|A=0,C=2)=1. \end{aligned}$

앞의 식에서 시청자가 처음에 문을 선택하는 것과, 정답이 있는 문은 서로 독립 관계이므로, $P(A=0, C=2)=P(A=0)P(C=2)$ 가 됩니다. 만약 시청자가 첫 번째 문( $A=0$ ) 을 선택했고, 정답은 세 번째 문이었다면 ( $C=2$ ), 진행자가 시청자에게 열어줄 수 있는 문은 단 한 개입니다( $B=1$ ). 따라서 우리는 $P(B=1|A=0,C=2)=1$ 임을 알 수 있습니다.

$\begin{aligned} P(C=0|A=0,B=1)&=\frac{P(A=0,B=1,C=0)}{P(A=0,B=1)} \\ &=\frac{P(B=1|A=0,C=0)P(A=0,C=0)}{P(A=0,B=1)} \\ &=\frac{P(B=1|A=0,C=0)P(A=0)P(C=0)}{P(B=1|A=0)P(A=0)} \\ &=\frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3},\\ \text{where }&P(B=1|A=0,C=0)=\frac{1}{2} \end{aligned}$

앞에서와 마찬가지로 식을 전개하면 $1/3$ 이 나오는 것을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 선택을 바꿔야 함을 알 수 있습니다.